Lo prometido es deuda, aquí algunos ejercicios de lógica y razonamiento sobre demostración directa.
1. Si un número es divisor de
otros dos, también lo es de su suma y de
su diferencia.
R://
Se toma como ejemplo los números 3,153,15 y 99.33 es divisor de 1515 y
de 9,9, según esta propiedad también debe ser divisor de su suma:
15+9=24,15+9=24, y de su resta: 5−9=6.15-9=6.
Como se puede ver en la figura 1, 33 hace parte del
conjunto de divisores de 66 y de 24.24.
Se puede generalizar esta propiedad así:
Dados tres números cualesquiera a, ba, b y c,
c, si a∣ba∣b y a∣ca∣c,
entonces a∣(b+c)a∣(b+c) y también a∣(b−c)a∣(b-c).
2. Si un número divide a la
suma de dos enteros y a uno de ellos, entonces también divide al otro.
R://
Sean a, b dos números.
A + B es divisble por C y A es divisible por C. Por demostrar que B sea
divisible por C, luego A + B = C*D y A = C * E, entonces:
A + B = C * D => B = C * D - A => B
= C * D - C * E
B = C (D - E) => B = C(S)
Conclusión:
B = Es divisible por C.
3. El
cuadrado de cualquier entero impar es de la forma 8k + 1, para algún entero k.
R://
Demostración
|
Justificación.
|
|
|
Postulado
Definición de número impar
Propiedad de las igualdades
Productos notables
Propiedad asociativa
Propiedad modulativa de la
multiplicación
Propiedad distributiva
Factor común
Haciendo k = (n²+n)/2
|
Luego:
El cuadrado de un entero impar es de la forma 8k + 1.
4. El producto de
dos enteros consecutivos es par.
R://
Partiendo del hecho en el que los números
consecutivos van a ser n y (n+1).
El resultado del producto
será representado como P = (n * (n+1)).
Si (P % 2 = 0) se puede
afirmar que el producto de dos enteros consecutivos es par.
Ejemplo:
2*3 = 6 % 2 = 0 (6 es par)
5*6 = 30 % 2 = 0 (30 es par)
11*12 = 132 %2 = 0 (132 es par)
5. La suma de un
entero con su cuadrado, es par.
R://
Dado que la variable entera es X . Entonces: X % 2
= 0
Es decir que el modulo de 2, de variable X es igual
a cero.
X + X^2 X^2 % 2 = 0
X^2= X*X
X*X = X*X%2=0
Ejemplo:
2+ (2^2) = 2 + 4 = 6 %2 =0
3+ (3^2) = 3 + 9 = 12 %2 =0
Conclusión:
Se puede concluir que la suma de un entero con su
cuadrado, es par.
6. La diferencia
entre los cubos de cada dos enteros consecutivos es impar.
R://
Demostración Justificación.
(x+1)3-(x)3=2n+1 Conclusión
(x+1)3-(x)3 Postulado
x3+3x2+3x+1-x3 Productos notables
3x2+3x+1 Simplificar
(3x2+3x)+1 Propiedad
asociativa
3x(x+1)+1 n=
x(x+1)
2n+1
7. La suma de cada tres enteros consecutivos es divisible
por 3.
R://
Sean tales números consecutivos: n, n+1, n+2.
Si se supone que n es múltiplo de 3, el problema
está resuelto.
Se suponeque n no es múltiplo de 3. Esto quiere
decir que la división n/3 deja residuo 1 o bien 2, es decir que n = 3d + 1 o
bien n = 3d + 2.
Las posibilidades pueden ser las siguientes:
Posibilidad 1 ---- n = 3d + 1
Entonces n + 2 = 3d + 3 == n + 2 = 3(d + 1), lo cual indica que n + 2 es
múltiplo de 3
Posibilidad 2 ---- n = 3d + 2
Entonces n + 1 = 3d + 3 == n + 1 = 3(d + 1), lo cual indica que n + 1 es
múltiplo de 3
Por ende se ha demostrado que:
* Entre dos números consecutivos hay uno que es múltiplo de 2
* Entre tres números consecutivos hay uno que es múltiplo de 3
8. El lado de un cuadrado que
tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa tiene
longitud L, es igual a L / 2.
R://
A = (C ^ 2) / 2
R = √C ^ 2 + C ^ 2 = √2 C ^ 2 = √2 C = C√2
L = C√2 => C
= L / √2
L ^ 2 = (C ^ 2) / 2 =
((L / √2) ^ 2) / 2 = ((L
^ 2) / 2) / 2
= (L ^ 2) / 4 = √(L ^ 2) / 4 = L / 2
9. Demostrar que 1+3+5+……+
(2n-1)=n^2, es válida para todos los enteros positivos.
R://
CASO 1 N=1
1+3+5+……+ (2.(1)-1)=(1)^2 = 1=1
CASO 2 N=K
1+3+5+……+ (2(K)-1)=K^2,
CASO 3 HIPOTESIS
1+3+5+……+
(2(K)-1)=K^2,
(2(K)-1)=K^2
+(2n-1)=n^2
2K-2= K^2 +
(2K-1)=K^2
(k) ^2+2k+2-1
(k) ^2 +2k+1
(k+1) ^2
10. Suponga que A, B y C son
conjuntos tales que A n B = θ y A u B = C. Pruebe que B =
C – A.
R://
Si se supone que el conjunto A se compone de {A,B,C,D},
El conjunto B se compone de {1,2,3,4}.
Y el conjunto C se compone de {A,B,C,D,1,2,3,4}.
Se
puede asumir que:
l Al encontrar un factor común entre A y B como se
representa (A n B = θ = {A,B,C,D}
n {1,2,3,4})= θ) el resultado va a ser 0 factores comunes.
l Al realizar la unión entre los conjuntos A y B como
se representa (A u B = C = ({A,B,C,D} u {1,2,3,4}) = {A,B,C,D,1,2,3,4}) se
puede identificar que el resultado es el mismo que el conjunto C.
Conclusión:
De esta forma se puede concluir que restando el conjunto A al conjunto C
(C – A = B = ({A,B,C,D,1,2,3,4} - {A,B,C,D}) = {1,2,3,4}) se obtiene como
resultado el conjunto B.
