Ejercicios Sobre Demostración Indirecta Por Contradicción

Hola Banda, 

Lo prometido es deuda, aquí algunos ejercicios de lógica y razonamiento sobre demostración indirecta por contradicción.

Ejercicios:

1. Si xᶺ2 es par, entonces x es par.

R://

Supongamos que xᶺ2 es par y que x no es par. Esto es, x es impar, y por lo tanto existe un entero a, tal que:

x = 2a + 1.

Ahora,

xᶺ2 = (2a + 1) ᶺ2

xᶺ2 = (2a+ 1) . (2a + 1)

xᶺ2 = 4aᶺ2 + 4a + 1

xᶺ2 = 2(2aᶺ2+ 2a) + 1

xᶺ2 = 2k+ 1 (k= 2aᶺ2 + 2a).

Conclusión:

En consecuencia, xᶺ2 es impar. Hemos llegado a una contradicción, xᶺ2 es par y xᶺ2 es impar.

2. Demostrar que si 3n+2 es impar, entonces n es impar.

R://
p: 3n+2 es impar.
q: n es impar

Suponemos la ~ q es decir que n es par, entonces n = 2k para algún entero k y demostramos ~ p es decir que 3n+2 es par.
Ahora se sigue que 3n+2 = 3(2k)+ 2 = 2(3k)+2 = 2 |(3k{+z 1)}
y 3n+2 es de la forma 2l

Conclusión:

Por tanto 3n+2 es par, es decir ~ p