Ejercicios Sobre Demostración Por Contraejemplo

Hola Banda,

Lo prometido es deuda, aquí algunos ejercicios de lógica y razonamiento sobre demostración por contraejemplo.

Ejercicios:

1. Si el producto de dos enteros es 0, ambos enteros son iguales a 0.

R://

a*b = 0 -> a, b = 0

Si 0*0 = 0 -> a, b = 0 verdadero se cumple la hipótesis

Pero si:

0*4 = 0 a=0 pero b=4

Conclusión:

Por lo tanto no siempre se cumple el producto de 2 enteros es 2 ambos enteros son iguales a 2.

2. Si b es divisor de c y d es divisor de c, entonces el producto bd es divisor de c.

R://

C = 16, B = 8, D = 4 -> bd es divisor de c.

B es divisor de C = 16/8 -> Verdadero

D es divisor de C 16/4 -> Verdadero

Conclusión:

Entonces el producto de bd es divisor de c.

8 * 4 = 32 no es divisor de C = 16.

32 es el producto por lo tanto es falso.

3. El cuadrado de cada número es mayor que el número.

R://

El cuadrado de cada números es mayor que el numero.

Si se toma     X=2 y x² = 2² = 4

X=-2 y x² = -2² = 4

Cumple con el planteamiento e hipótesis del problema pero si:

·         X = 1 -> X² =1² = 1

·         X= 0 -> X² =0² =0

Conclusión:

Por lo tanto no se cumple la hipótesis, por lo tanto (Vx) X² > X -> Falso.

4. Si A, B, C son conjuntos y A U B = A U C entonces B = C.

R://

Si A, B y C son conjutos y AuB= AuC -> B = C

A{ 1,2,3,4} , B {4,5,6,7} C {7,8,9}

AuB {1,2,3,4,5,6,7} = AuC {1,2,3,4,7,8,9} Fallo

AuB != AuC

B=C -> Falso -> B != C

Nota:

Donde !=, representa la diferencia.

C. Demostración indirecta por contradicción

5. Si xᶺ2 es par, entonces x es par.

R://

Supongamos que xᶺ2 es par y que x no es par. Esto es, x es impar, y por lo tanto existe un entero a, tal que:

x = 2a + 1.

Ahora,

xᶺ2 = (2a + 1) ᶺ2

xᶺ2 = (2a+ 1) . (2a + 1)

xᶺ2 = 4aᶺ2 + 4a + 1

xᶺ2 = 2(2aᶺ2+ 2a) + 1

xᶺ2 = 2k+ 1 (k= 2aᶺ2 + 2a).

Conclusión:

En consecuencia, xᶺ2 es impar. Hemos llegado a una contradicción, xᶺ2 es par y xᶺ2 es impar.

6. Demostrar que si 3n+2 es impar, entonces n es impar.

R://
p: 3n+2 es impar.
q: n es impar

Suponemos la ~ q es decir que n es par, entonces n = 2k para algún entero k y demostramos ~ p es decir que 3n+2 es par.
Ahora se sigue que 3n+2 = 3(2k)+ 2 = 2(3k)+2 = 2 |(3k{+z 1)}
y 3n+2 es de la forma 2l

Conclusión:

Por tanto 3n+2 es par, es decir ~ p