Hola Banda,
Lo prometido es deuda, aquí algunos ejercicios de lógica y razonamiento sobre demostración por inducción matemática.
Ejercicios:
Ejercicios:
1. 1^2 +2 ^2 + .. + n^2= n
(n+1)(2n+1)/6 Para
n>=1
R://
a)
n(n+1)(2n+1)+(n+1) ^2=n(nt1)(2n+1)+6(n+1) ^2
-------------- -----------------------------------------------
6 6
b)
(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)] =
(nt1)(2n^2+7n+6]
----------------------------- --------------------------------
6 6
2n^2+7n+6
n=-2
2n^2+7n+6=(n+2)(2n+2)
1^2+2^2+3^2+…..+n^2+(n+1)
^2= (n+1)((n+1)+1) (2(n+1)+1)
--------------------------------
6
La fórmula es cierta para n+1
2.
4 +10+16+…+ (6n-2)=n(3n+1) Para n>=1
R://
CASO 1 n = 1: 6n-2 = 4; n (3n + 1) = 4. Entonces es cierto para 4.
n = 2 solo para estar seguros: n = 2; 4 + 10 = 14 = 2 (3 * 2 + 1).
Paso de inducción: Suponemos 4 + 10 + 16 + .... + (6n - 2) = n (3n + 1).
Queremos mostrar que es cierto para n + 1.
4 + 10 + 16 + .... + (6n - 2) + (6 (n + 1) - 2) = ????
4 + 10 + 16 + .... + (6n - 2) + (6 (n + 1) - 2) =
[4 + 10 + 16 + .... + (6n - 2)] + (6 (n + 1) - 2) =
n (3n + 1) + (6 (n + 1) - 2) = (porque se supuno que era cierto para n)
3n ^ 2 + n + 6n + 6 - 2 = 3n ^ 2 + 7n + 4 = (n + 1) (3n + 4) = (n + 1)
(3 (n + 1) + 1)
Que es lo que se queria mostrar.
Entonces es verdad para n = 1. Si es verdadero para 1, entonces es
verdadero para 1 + 1 = 2. Por lo tanto, es cierto para 2 + 1 = 3. Por lo tanto,
es cierto para 3+ 1 = 4, etc.
3. 7^n – 2^n es divisible por 5. Para n >= 1
R://
7^k+1 - 2^k+1 = (2+5) 7^n – 2,2^k
7^k+1 – 2 ^k+1 = 7,7^k – (7-5) 2^k
7^k+1 – 2^k+1 = 7,7^k – 2,2^k +7,2^k – 7,2^k
30. n !> n² Para n >= 4
R://
Prueba n = 4
X = 4!
= 4x3x2x1
= 24
Y = 4²
= 16
X > Y -> Por lo tanto n = 4
n = k
k! > k² {k >= 4}
Prueba n = k+1
(k+1) ! > (k+1)²
(k+1)! -(k+1)² > 0
Consideración
(k+1)
! - (k+1)² =
(k+1) k! -(k+1)²
= (k+1) [k! - (k+1)]
> (k+1) [k² -k -1]
> (k+1) [k² -k+1/4-1/4-1]
(k+1)! - (k+1)² > (k+1) [ (k-1/2)² – 5/4 ]
Pero
k >= 4
k -1/2 >= 3*1/2
(k-1/2)² >= 12*1/4
(k-1/2)² – 5/4 >= 11
(k-1/2)² -5/4 > 0
Ademas k+1>=5
k+1>0
(k+1)[k(-1/2)² -5/4] > 0
(k+1)! - (k+1)² >
[(k-1/2)² -5/4] > 0
(k+1) ! - (k+1)² > 0
(k+1) ! > (k+1)²
Conclusión:
Verdadero para n= k+1.
Verdadero para n = k.
Verdadero para n = 4.
Verdadero para n = 4,5,6.
En n >= 4
0 comentarios :
Publicar un comentario